在线性空间的研究中，有时候证明一个抽象空间的结论十分繁琐，但在
P
n
{\displaystyle \mathbb{P}^n}
中，借助直观的运算可以很容易证明，这时，如果可以证明这两个空间之间的关系（即建立的映射）保持这种性质，也就可以证明了抽象空间的结论：这种思想就是同构。
目录
1 同构映射
2 同构的等价性
3 同构映射保持线性相关性和线性无关性
4 有限维同构的刻画
5 参见
6 参考资料
同构映射[]
设数域
P
{\displaystyle \mathbb{P}}
上的两个线性空间
V
1
,
V
2
{\displaystyle V_1, V_2}
，如果存在一个双射
f
:
V
1
→
V
2
{\displaystyle f: V_1 \to V_2}
，且这个双射保持加法和数乘，即
∀
α
,
β
∈
V
,
∀
k
,
l
∈
P
,
f
(
k
α
+
l
β
)
=
k
f
(
α
)
+
l
f
(
β
)
{\displaystyle \forall \alpha, \beta \in V, \forall k, l \in \mathbb{P}, f(k \alpha + l \beta) = k f(\alpha) + l f(\beta)}
，就称
f
{\displaystyle f}
为从
V
1
{\displaystyle V_1}
到
V
2
{\displaystyle V_2}
的一个同构映射，并称
V
1
{\displaystyle V_1}
同构于
V
2
{\displaystyle V_2}
，记作
V
1
≅
V
2
{\displaystyle V_1 \cong V_2}
。
“保持加法和数乘”也可以用如下两条替换：
∀
α
,
β
∈
V
,
f
(
α
+
β
)
=
f
(
α
)
+
f
(
β
)
{\displaystyle \forall \alpha, \beta \in V, f(\alpha + \beta) = f(\alpha) + f(\beta)}
∀
α
∈
V
,
∀
k
∈
P
,
f
(
k
α
)
=
k
f
(
α
)
{\displaystyle \forall \alpha \in V, \forall k \in \mathbb{P}, f(k \alpha) = k f(\alpha)}
∀
α
,
β
∈
V
,
∀
k
,
l
∈
P
,
f
(
k
α
+
l
β
)
=
k
f
(
α
)
+
l
f
(
β
)
{\displaystyle \forall \alpha, \beta \in V, \forall k, l \in \mathbb{P}, f(k \alpha + l \beta) = k f(\alpha) + l f(\beta)}
这句中等式左侧的加法和数乘是
V
1
{\displaystyle V_1}
中定义的，而右侧的加法和数乘是
V
2
{\displaystyle V_2}
中定义的。
同构的等价性[]
从定义中，我们可以知道同构关系有如下性质：
自反性：
V
1
≅
V
1
{\displaystyle V_1 \cong V_1}
，只需取映射为恒等映射
e
{\displaystyle e}
即可，也称为自同构。
对称性：若
V
1
≅
V
2
{\displaystyle V_1 \cong V_2}
，则
V
2
≅
V
1
{\displaystyle V_2 \cong V_1}
。由于
f
:
V
1
→
V
2
{\displaystyle f: V_1 \to V_2}
是双射，所以
f
−
1
:
V
2
→
V
1
{\displaystyle f^{-1}: V_2 \to V_1}
这个双射提供了
V
2
→
V
1
{\displaystyle V_2 \to V_1}
的同构映射。
传递性：若
V
1
≅
V
2
{\displaystyle V_1 \cong V_2}
且
V
2
≅
V
3
{\displaystyle V_2 \cong V_3}
，则
V
1
≅
V
3
{\displaystyle V_1 \cong V_3}
，由映射的合成立得。
因此，同构关系是一种等价关系。
同构映射保持线性相关性和线性无关性[]
对于
f
:
V
1
→
V
2
,
∀
α
1
,
α
2
,
⋯
,
α
n
∈
V
1
,
k
1
,
k
2
,
⋯
,
k
n
∈
P
{\displaystyle f: V_1 \to V_2, \forall \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n \in V_1, k_1, k_2, \cdots, k_n \in \mathbb{P}}
。显然有
f
(
∑
i
=
1
n
k
i
α
i
)
=
∑
i
=
1
n
k
i
f
(
α
i
)
{\displaystyle f \left( \sum_{i=1}^n k_i \alpha_i \right) = \sum_{i=1}^n k_i f (\alpha_i)}
可以证明
V
1
{\displaystyle V_1}
中一个向量组线性相关当且仅当
V
2
{\displaystyle V_2}
中该向量组的像线性相关。逆否命题亦成立。
有限维同构的刻画[]
同一个数域上的两个有限维线性空间同构当且仅当它们的维数相等。
参见[]
上一节：线性空间的坐标变换
下一节：线性子空间
参考资料郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.
线性代数（学科代码：1102110，GB/T 13745—2009）
矩阵
矩阵的转置 ▪ 矩阵的逆 ▪ 对角矩阵 ▪ 初等矩阵 ▪ 等价标准型 ▪ 分块矩阵 ▪ 伴随矩阵 ▪ 酉矩阵（正交矩阵） ▪ Hermite 矩阵（实对称矩阵） ▪ 正规矩阵（实正规矩阵） ▪ 幂等矩阵 ▪ 幂零矩阵 ▪ 对合矩阵 ▪ 秩一矩阵 >>另参见数值分析<<
行列式
Vandermonde 行列式 ▪ 行列式的展开 ▪ Laplace 展开 ▪ 三角行列式 ▪ 三对角行列式 ▪ 行列式的计算 ▪ 析因子法
向量组理论
向量组 ▪ 替换定理 ▪ 矩阵的秩 ▪ 矩阵的迹
线性方程组
Cramer 法则 ▪ 基础解系（解的结构）>>另参见数值分析<<
线性空间和内积空间
线性空间的维数和基底 ▪ 线性空间的坐标变换 ▪ 线性空间的同构 ▪ 线性子空间 ▪ 线性空间的直和 ▪ 维数公式 ▪ 线性空间上的线性函数 ▪ 双线性函数 ▪ 对称双线性度量空间 ▪ 正交补空间 ▪ 内积 ▪ Euclid 空间 ▪ 向量到子空间的距离 ▪ 最小二乘法 ▪ Gram-Schmidt 正交化
线性变换
线性映射 ▪ 线性变换 ▪ 线性变换的运算 ▪ 自同构变换 ▪ 线性变换的特征值和特征向量 ▪ 特征子空间 ▪ 特征多项式 ▪ 零化多项式 ▪ 最小多项式 ▪ 关联矩阵的特征根 ▪ 线性空间的直和分解 ▪ 幂等线性变换 ▪ 正交变换 ▪ 正定矩阵 ▪ 半正定矩阵
矩阵标准型
相似标准型 ▪ λ-矩阵 ▪ 数字矩阵的特征矩阵 ▪ Frobenius 标准形 ▪ Jacobson 标准形 ▪ Jordan 标准形
二次型理论
二次型（实二次型） ▪ 二次型的化简 ▪ 正定二次型 ▪ 一对实二次型同时化简
所在位置：数学（110）→ 代数学（11021）→ 线性代数（1102110）